函数复合

函数复合

"函数复合"是把一个函数的输出作为另一个函数的输入：

把 f() 的结果代入 g() 里

写法是：(g º f)(x)

意思是：g(f(x))。复合后的函数叫复合函数。

例子：f(x) = 2x+3，g(x) = x2

"x" 只是个位置标志符，为简单起见，在这里我们称之为 "输入"：

f(输入) = 2(输入)+3

g(输入) = (输入)2

开始：

(g º f)(x) = g(f(x))

先运用 f，然后在结果上运用 g：

(g º f)(x) = (2x+3)2

如果我们把 f 和 g 的次序掉转呢？

(f º g)(x) = f(g(x))

先运用 g，然后在结果上运用 f：

(f º g)(x) = 2x2+3

得到不同的结果！

所以我们要小心函数的先后次序。

符号

函数复合的符号是个小圆圈（或空心圆点）：

(g º f)(x)

它不是个实心圆点：(g · f)(x) 的意思是相乘。

与自己复合

你甚至可以把函数与自己复合！

例子：f(x) = 2x+3

(f º f)(x) = f(f(x))

先运用 f，然后在结果上运用 f：

(f º f)(x) = 2(2x+3)+3 = 4x + 9

不用画图也可以解：

(f º f)(x)

= f(f(x))

= f(2x+3)

= 2(2x+3)+3

= 4x + 9

定义域

相当容易！但有一点复杂的是，你要考虑函数的定义域。

定义域是函数所有输入值的集.

函数要可以运用在所有的输入上，所以你要自己决定用正确的定义域！

例子：√x（x 的平方根）的定义域

负数是没有平方根的（除非用虚数，但在这里我们不用），所以定义域不能包括负数：

√x 的定义域是所有非负实数

在实数直线上像这样：

用集合建构式符号表达就是：

{ x | x ≥ 0}

用区间符号表达就是：

[0,+∞)

定义域一定要正确，不然结果就会有问题了！

复合函数的定义域

两个定义域都要正确（符合函数和第一个函数）。

例如，(g º f)(x) = g(f(x))：

f(x) 的定义域要正确，

g(x) 的定义域也要正确

例子：f(x) = √x and g(x) = x2

f(x) = √x 的定义域是所有非负实数

g(x) = x2 的定义域是所有实数

复合函数是：

(g º f)(x)

= g(f(x))

= (√x)2

= x

通常 "x" 的定义域是所有实数 ……

…… 但因为在这里它是个复合函数，所以我们也要考虑 f(x) 的定义域

因此，这个复合函数的定义域是所有非负实数

为什么要考虑两个定义域？

想象函数是机器 …… 第一个函数用火烧一个洞（只能在金属上烧)，第二个函数把洞钻大一点（可以钻木头或金属）：

你看到最后结果是的钻出来的洞，所以你可能以为这个复合机器用在木头和金属上都可以。

但是，如果你把木头放进 g º f 这个复合机器里，第一个函数 f 就会把木头烧掉！

所以 "机器里面" 的运作是重要的。

分解函数

你也可以反过来把一个函数分解成几个函数的复合。

例子： (x+1/x)2

这个函数可以是几个函数的复合：

f(x) = x + 1/x

g(x) = x2

结果是：

(g º f)(x)

= g(f(x))

= g(x + 1/x)

= (x + 1/x)2

有时这个方法可以帮助我们简化一个复杂的函数。

总括

"函数复合" 是把一个函数的输出作为另一个函数的输入。

(g º f)(x) = g(f(x)), 先运用 f()，然后运用 g()

一定要符合第一个函数的定义域

有一些函数可以被分解成两个或以上比较简单的函数。

函数运算

代数索引